Линейная зависимость и линейная независимость системы строк, столбцов.

Предыдущая12345678Следующая

Определение 1.Пусть R (R ). Выражение вида , где R, , будем называть линейной комбинацией столбцов (строк) с коэффициентами .

Запись: ЛК будет означать, что столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк) .

Определение 2 .Совокупность столбцов (строк) R (R ) будем называть линейно зависимой, если существуют числа R,не равные нулю одновременно и такие, что (1).

В противном случае совокупность будем называть линейно независимой.

Таким образом, одна и та же совокупность столбцов (строк) не может быть одновременно и линейно зависимой, и

линейно независимой.

Заметим, что в равенстве (1) ноль означает нулевой столбец, если - столбцы, и нулевую строку, если - строки.

Пример. Пусть . Очевидно, справедливо равенство: . Следовательно, совокупность строк линейно зависимая.

Часто бывает удобнее пользоваться другим определением линейно независимой совокупности, разумеется, равносильным определению 2.

Определение3.Совокупность столбцов (строк) R (R ) будем называть линейно независимой, если

из равенства нулевому элементу линейной комбинации этих столбцов (строк) следует равенство нулю всех коэффициентов этой линейной комбинации, т.е. из равенства следует, что .

Пример. Пусть . Составим линейную комбинацию этих столбцов и приравняем её к нулевому столбцу: .

Рассмотрим определитель этой системы: . Следовательно, эта система линейных однородных алгебраических уравнений имеет единственное, т.е. нулевое решение .

Таким образом, из равенства следует, что , и, следовательно, совокупность столбцов линейно независимая.

Теорема 1. Совокупность столбцов (строк), содержащая нулевой столбец (нулевую строку) линейно зависима.

Доказательство. Пусть в совокупности R (R ) -ый элемент нулевой, т.е. . Тогда, очевидно, справедливо равенство , причём 1- -ый коэффициент не равен 0.

Таким образом, совокупность столбцов (строк) линейно зависимая по определению 2.

Теорема 2.Если к линейно зависимой совокупности столбцов (строк) добавить ещё несколько, то получившаяся совокупность будет также линейно зависимая.

Доказательство. Пусть совокупность столбцов (строк) R (R ) линейно зависимая, т.е. существуют числа R,не равные нулю одновременно и такие, что . Покажем, что тогда

совокупность R (R ) также линейно зависимая.

Действительно, очевидно, справедливо равенство , причём не все коэффициенты этой линейной комбинации равны 0, т.к. не все коэффициенты равны нулю.

Теорема 3.Если из линейно независимой совокупности столбцов (строк) удалить несколько, то получившаяся совокупность будет также линейно независимой.



Доказательствопроведём от противного с использованием теоремы 2. Пусть совокупность столбцов (строк) R (R ) линейно независимая, а совокупность линейно зависимая.

Тогда по теореме 2 исходная совокупность столбцов (строк) будет также линейно зависимая, что противоречит условию, и теорема доказана.

Теорема 4. Критерий линейной зависимости. Для того чтобы совокупность столбцов (строк) была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из элементов этой совокупности был линейной комбинацией остальных.

Доказательство.

Необходимость.Пусть совокупность столбцов (строк) R (R ) линейно зависимая, т.е. существуют числа R,не равные нулю одновременно и такие, что , и пусть для определённости . Тогда из последнего равенства получаем:

, и необходимость доказана.

Достаточность. Пусть , . Тогда справедливо равенство: , причем . Следовательно, совокупность столбцов (строк) линейно зависимая по определению 2, и достаточность доказана.

Теорема 5.Если после добавления к линейно независимой совокупности столбцов (строк) R (R ) столбца (строки) R (R ) новая совокупность становится линейно зависимой, то

добавленный элемент есть линейная комбинация элементов исходной совокупности, т.е.

ЛК .

Доказательство.По условиюсовокупность линейно зависимая. Это означает, что существуют числа R,не равные нулю одновременно и такие, что Покажем, что . Пусть это не так, т.е. . Тогда из равенства (2) следует: , причём среди чисел есть ненулевые, т.к. , а не равны нулю одновременно. Тогда из определения 2 следует, что совокупность линейно зависимая, а это противоречит условию.

Таким образом, доказали, что . Тогда из равенства (2) получаем: , и теорема 5 доказана.


3104180824139527.html
3104191759743211.html
    PR.RU™